3.1 Representacion en 3 dimensiones , 3.2 Visualizacion de objetos, 3.3 Transformaciones Tridimensionales

El diseño ayudado por ordenador representa un gran ahorro de esfuerzo y tiempo. Además se consiguen resultados extraordinarios con respecto a los procedimientos clásicos de diseño. Los programas de diseño industrial o arquitectónico admiten tres maneras de representación de objetos.

• Modelos bidimensionales del objeto o parte de él. Se reproducen separadamente las diferentes caras, planos o cortes para ser estudiados y modificados. Normalmente se utiliza una representación formal del objeto, obteniendo sus vistas desde diferentes puntos de visualización. Se denominan vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre 6 planos, dispuestos en forma de cubo. También se podría definir las vistas como, las proyecciones ortogonales de un objeto, según las distintas direcciones desde donde se mire. Si situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto. 

• Modelos tridimensionales que incluyan únicamente un conjunto de puntos y líneas en el espacio. Estos modelos se llaman “wireframe” o alambrado (armazón de alambre). El objeto así representado rota en diferentes ángulos para su estudio o transformación definitiva. Existen varias formas de representación en modo wireframe: 
• 1. Representación alambrica: Activa este modo de sombreado. 
• 2. Representación alambrica det: Se muestran bordes alámbricos e iluminación 
• 3. Área de trabajo: Muestra los objetos como área de trabajo solamente. El área de trabajo se define como la caja más pequeña que abarca completamente un objeto.

• Modelos sólidos que incluyen el dibujo de superficies y son los más completos y complejos. 
• 1. Suavizado + Resaltes: Activa este modo de sombreado, que permite ver la homogeneidad e iluminación de los objetos. También puede presentar mapas en la superficie de objetos. Esto sucede mapa a mapa, pero puede presentar tantos mapas como desee simultáneamente en el visor. Los mapas sólo aparecen en objetos que tienen coordenadas de mapeado. 
• 2. Suavizado: Muestra suavizado, pero no resaltes 

3.2 VISUALIZACIÓN DE OBJETOS:

En este caso trataremos con las proyecciones que van del espacio al plano (3D a 2D). La proyección de objetos tridimensionales serán definidos por la intersección de líneas rectas que van desde un centro de proyección u ojo, hasta cada punto del objeto.

Proyección Acotada

Es una proyección ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección. La proyección acotada es muy práctica cuando es necesario representar gráficamente objetos irregulares; razón por la cual se usa frecuentemente para el diseño de techos de viviendas; construcción de puentes, represas, acueductos, gasoductos, carreteras, determinación de áreas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topográficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.

Proyección Cónica.

Denominada también perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observación y el objeto se encuentran relativamente cercanos. Es el sistema de representación gráfico en donde el haz de rayos proyectantes confluye en un punto (el ojo del observador), proyectándose la imagen en un plano auxiliar situado entre el objeto a representar y el punto de vista.

PROYECCIÓN ORTOGONAL

La Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

Existen diferentes tipos:

• Vista A: Vista frontal o alzado
• Vista B: Vista superior o planta
• Vista C: Vista derecha o lateral derecha
• Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda
• Vista E: Vista inferior
• Vista F: Vista posterior

PROYECCIÓN OBLICUA.

Es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

Una proyección Oblicua se obtiene proyectando puntos a lo largo de líneas paralelas que no son perpendiculares al plano de proyección. La figura muestra una proyección oblicua de un punto (x, y, z) por una línea de proyección a la posición (xp, Yp).

3.3 Transformaciones Tridimensionales:

Qué son las transformaciones tridimensionales.

Tres dimensiones. En computación, las tres dimensiones son el largo, el ancho y la profundidad de una imagen. Técnicamente hablando el único mundo en 3D es el real, la computadora sólo simula gráficos en 3D, pues, en definitiva toda imagen de computadora sólo tiene dos dimensiones, alto y ancho (resolución).

En la computación se utilizan los gráficos en 3D para crear animaciones, gráficos, películas, juegos, realidad virtual, diseño, etc.

Creación de gráficos en 3d.

El proceso de la creación de gráficos tridimensionales comienza con un grupo de fórmulas matemáticas y se convierte en un gráfico en 3D. Las fórmulas matemáticas (junto con el uso de objetos externos, como imágenes para las texturas) describen objetos poligonales, tonalidades, texturas, sombras, reflejos, transparencias, translucidez, refraxiones, iluminación (directa, indirecta y global), profundidad de campo, desenfoques por movimiento, ambiente, punto de vista, etc. Toda esa información constituye un modelo en 3D.

Para la visualización de un objeto 3D, se requieren 3 pasos:

• En primer lugar se necesita una base de datos con las coordenadas (x,y,z) de los vértices y además los polígonos que forman el objeto.

• En segundo lugar el objeto primero se rota y luego se traslada hasta la localización adecuada, con lo que se obtienen unas nuevas coordenadas (x,y,z) para los vértices.

• Finalmente, se eliminan los polígonos que no son visibles por el observador, se aplica la perspectiva y se dibuja el objeto en la pantalla

Sistemas de coordenadas.

• Una escena 3D se define por los puntos, líneas y planos que la componen

• Necesitamos un sistema para poder referenciar las coordenadas, al igual que ocurría en 2 dimensiones

• Hace falta un tercer eje, Z, perpendicular al

X y al Y

• Cualquier punto se describe entonces como una terna de valores (x, y, z)

• Para el sentido del eje Z se usa la regla de la mano derecha.

Transformaciones 3-d.

· Son extensiones de las transformaciones en dos dimensiones.

·

En el caso 2D teníamos inicialmente matrices 2x2, pero eso sólo nos permitía operaciones del tipo.

Por eso pasamos a matrices 3x3, utilizando coordenadas homogéneas.

Por tanto, en 3-D, aplicando la misma regla, habrá que pasar a matrices 4x4

Representación matricial de transformaciones tridimensionales.

Las transformaciones geométricas tridimensionales permiten construir escenarios en tres dimensiones a partir de primitivas geométricas simples (esfera, cubo, cono, cilindro, etc). En concreto, las transformaciones de traslación, escalado y rotación son indispensables para esta tarea y constituyen un punto muy importante en la materia.

El tema pretende mostrar una traslación, un escalado o una rotación sobre una primitiva geométrica en tres dimensiones. Por ejemplo, si se desea hacer algo tan simple como girar un cubo un ángulo dado alrededor de un eje de coordenadas resulta muy complicado de explicar mediante dibujos 2D que sólo muestren la situación inicial y final del cubo, y que no muestran como el cubo sufre dicha transformación y porqué la situación final es la que es.

Las transformaciones geométricas 3D que se estudian son tres en concreto: traslación, escalado y rotación.

Así como las transformaciones bidimensionales se pueden representar con matrices de 3 X 3 usando coordenadas homogéneas, las transformaciones tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional.

Es por eso que las transformaciones geométricas tridimensionales que se estudian son tres en concreto: traslación, escalado y rotación.

Traslación.

Nos permitirá cambiar la posición de un objeto, moviéndolo en línea recta desde una posición inicial a la posición final. 

Rotación.

Para generar una transformación de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girara el objeto, y la cantidad de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).

Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier línea en el espacio.

Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a los ejes de coordenadas.

Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen de coordenadas.

3.4 LINEAS Y SUPERFICIES CURVAS:

Las ecuaciones de los objetos con límites curvos se pueden expresar en forma paramétrica o en forma no paramétrica. El Apéndice A proporciona un resumen y una comparación de las representaciones paramétricas y no paramétricas. Entre los múltiples objetos son útiles a menudo en las aplicaciones gráficas se pueden incluir las superficies cuadráticas, las supercuádricas, las funciones polinómicas y exponenciales, y las superficies mediante splines. Estas descripciones de objetos de entrada se teselan habitualmente para producir aproximaciones de las superficies con mallas de polígonos.

La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar objetos “from scratch” o representar objetos reales. En este último caso, normalmente no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.

La representación no paramétrica de una curva (por ejemplo, en dos dimensiones) puede ser implícita, y = f(x) O bien explícita, f(x, y) = 0

La forma implícita no puede ser representada con curvas multivaluadas sobre x (por ejemplo, un círculo), mientras que la forma explícita puede requerir utilizar criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más soluciones de las deseadas.

Representación paramétrica.

Una representación paramétrica (por ejemplo, de una curva bidimensional) tiene la forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2

La derivada o vector tangente es

P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T

El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1. Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo normalmente modifica el comportamiento de la curva (esto es visible al comparar sus derivadas).